怎样通过洛伦茨变换推导出光速不变?呵呵!洛仑兹变换是由


呵呵 !洛仑兹变换是由狭义相对论导出 。 而狭义相对论的假设是光速不变。所以,不存在什么洛伦茨变换推导出光速不变。这样问是本末倒置的!

晕,这是难题袄..教授级别的都不能解出来

光速不变不是洛仑兹变换导出的,洛仑兹变换是由洛仑兹本人在狭义相对论之前就推出的,只不过后来狭义相对论里面也涉及到了洛仑兹变换.狭义相对论的两个基本原理:(1)相对性原理:所有惯性系都是等价的。 (2)光速不变原理:真空中的光速是与惯性系无关的常数。这两个基本原理都只是爱因斯坦的猜想,狭义相对论整个原理都是基于这两条原理推出来的.据说推导狭义相对论只用了爱因斯坦高中的数学知识.狭义相对论力学:(注:γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。) (一)基本原理:(1)相对性原理:所有惯性系都是等价的。 (2)光速不变原理:真空中的光速是与惯性系无关的常数。 (此处先给出公式再给出证明) (二)洛仑兹坐标变换: X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) (三)速度变换: V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2)) (四)尺缩效应:△L=△l/γ或dL=dl/γ (五)钟慢效应:△t=γ△τ或dt=dτ/γ (六)光的多普勒效应:ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b) (光源与探测器在一条直线上运动。) (七)动量表达式:P=Mv=γmv,即M=γm. (八)相对论力学基本方程:F=dP/dt (九)质能方程:E=Mc^2 (十)能量动量关系:E^2=(E0)^2+P^2c^2 (注:在此用两种方法证明,一种在三维空间内进行,一种在四维时空中证明,实际上他们是等价的。) 三: 三维证明: (二)洛仑兹变换: 设(x, y,z,t)所在坐标系(A系)静止,(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处,x=0,B系中A原点的坐标为X=- uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的,因此k是与u有关的常数(广义相对论中,由于时空弯曲,各点 不再等价,因此k不再是常数。)同理,B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知,两个惯性系等价,除速度反向外,两式应取相同的形式,即k= K.故有X=k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关,可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得:x=k^2(x- ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两 系的原点重合时,由重合点发出一光信号,则对两系分别有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得:ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相 乘消去t和T得:k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换: X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) (三)速度变换: V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2)) =(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2) =(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 同理可得V(y),V(z)的表达式。 (四)尺缩效应: B系中有一与x轴平行长l的细杆,则由X=γ(x-ut)得:△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标),则△X=γ△x,即:△l=γ△L,△L=△l/γ (五)钟慢效应: 由坐标变换的逆变换可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量),故△t=γ△T. (注:与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时,是不随坐标变换而变的客观量。) (六)光的多普勒效应:(注:声音的多普勒效应是:ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).) B 系原点处一光源发出光信号,A系原点有一探测器,两系中分别有两个钟,当两系原点重合时,校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N,B系的 钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知,A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为 t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数,故光源发出的波数与探测器接收的波数相同, 即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得:ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b). (七)动量表达式:(注:dt=γdτ,此时,γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系,β=v/c) 牛二在伽利略变换下,保持形势不变,即无论在那个惯性系内,牛二都成立,但在洛伦兹变换下,原本简洁的形式变得乱七八糟,因此有必要对牛顿定律进行修正,要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。 牛 顿力学中,v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变,(旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z))只要将分母替换为一个不变量(当然非固有 时dτ莫属)就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为V,可修正动量,即p=mV =γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量:相对论动量。(注:我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算) (八)相对论力学基本方程: 由相对论动量表达式可知:F=dp/dt,这是力的定义式,虽与牛二的形式完全一样,但内涵不一样。(相对论中质量是变量) (九)质能方程: Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv =Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mc^2-mc^2 即E=Mc^2=Ek+mc^2 (十)能量动量关系: E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得:E^2=(E0)^2+p^2c^2 四: 四维证明: (一)公理,无法证明。 (二) 坐标变换:由光速不变原理:dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔,dS^2= dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).则对光信号dS恒等于0,而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2〉0称类空间隔, dS^2<0称类时间隔,dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变,因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量, dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下,可得出一个重要的结论:dS是坐标变换下的不变量。 由数学的旋转变换公式有:(保持y,z轴不动,旋转x和ict轴) X=xcosφ+(ict)sinφ icT=-xsinφ+(ict)cosφ Y=y Z=z 当X=0时,x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ 得:tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得: X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) (三)(四)(五)(六)(八)(十)略。 (七)动量表达式及四维矢量:(注:γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ) 令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ,V=dr/dτ称四维速度。 则V=(γv,icγ)γv为三维分量,v为三维速度,icγ为第四维分量。(以下同理) 四维动量:P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM) 四维力:f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力) 四维加速度:ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c) 则f=mdV/dτ=mω (九)质能方程: fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0 故四维力与四维速度永远“垂直”,(类似于洛伦兹磁场力) 由fV=0得:γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量,且Fv=dEk/dt(功率表达式)) 故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2 故E=Mc^2=Ek+mc^2




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