什么是固有时间隔dτ怎样推导能量公式可理解为地球时间隔


可理解为地球时间隔

时间相对性原理应纠正为非固有时间相对性原理!根据固有距离不变原理,时间相对性原理,也可从反面表述为,固有时间不变原理。即 c’ ∆t = cτ =L= 常数 (1)式中 c’——相对光速 ∆t——相对时间c——固有光速τ——固有时间(原时间隔)L——固有距离从式(1)可知,相对光速,固有光速;相对时间,固有时间是成对出现的。L为常数,可称为固有距离不变原理,它和光源与观察者的相对运动无关。


相对论认为世界线的长度就是一个人所经历的时间,对吗
完全正确!

简单来说,正确。以下是详细说明。首先,相对论研究的对象一般是质点或者光子的事件,或者也可以虚构一个观者,整体的一个人研究起来相当麻烦(引力过大可以把一个人扯碎,这个“人”就不是人了)。其次,相对论中时间的定义也相当麻烦,必须分清固有时和坐标时的区别,固有时是一个粒子真正经历的时间,而坐标时只不过是某个坐标的间隔而已,有时甚至可以不是类时的。所以,这个命题更加科学的说法是:观者世界线的长度就是它的固有时。这是相对论中一个比较重要的结论。(以下符号^表示上标,_表示下标)我们首先讨论狭义相对论,即忽略引力,背景是平直的四维闵氏时空(R^4,η_ab),某个质点在时空中运动可以画出一条世界线。我们可以①在某个惯性系中建立一个洛伦兹坐标系(x,y,z,t)(即四维空间中两两“垂直”的坐标系),它的线元为:dτ²=-dt²+dx²+dy²+dz²,此即四维时空中某两个“点”之间的“距离”平方,相对论中一般默认光速c=1,注意这里的dτ²是一个符号,它不是指某个数的平方,可正可负。对于实物粒子,速度达不到光速,它的世界线是类时曲线,dτ²<0,所以其固有时定义为△τ=∫√(-dτ²),其中积分是沿着世界线的;而对于光子,dτ²=0,所以光子没有固有时概念,或者也说光子的固有时是零(也就是一般人说的达到光速时间就“停止”的意思)。另外,我们可以②相对于另外一个惯性系静止建立另一洛伦兹坐标系(t',x',y,z)(即洛伦兹变换,也叫伪转动);或者③把它平移一下,得到另外一个坐标系(t'',x,y,z);④旋转一下得到(t,x''',y''',z);⑤相对一个加速运动的观者建立一个伦德勒坐标系(θ,ρ,y,z);⑥甚至我可以在时空中随便画四组弯弯曲曲的线簇,只要它们“不平行”,就可以构成一组坐标系(a,b,c,d)……这些坐标系中的“t, t', t'', θ, a”我们可以把它叫做坐标时。原则上,只要沿着世界线的某个参数是单调变化的,我们就可以称它为“时间”,即坐标时。虽然在不同坐标系(①~⑥甚至更多)下,线元dτ²的表达式各不相同,但是对于某两个确定的事件,其固有时△τ却是相同的。(就如同不管选直角坐标还是极坐标,平面上两点间的距离算出来始终相同。)或者我们可以说:坐标时是人为选定的,相对的;固有时是世界线的长度,绝对的。过渡到广义相对论,即四维单连通流形配一个洛伦兹号差的度规(M,g_ab),它的线元定义为dτ²=(g_ab)(dx^a)(dx^b),其中重复指标求和,原则上有4×4=16项,但一般来说可以选择适当的坐标系使得交叉项为0,减少到4项。虽然其情况较狭相复杂得多,但结论还是类似的,仍然是:质点△τ=∫√(-dτ²);光子没有固有时。例如Kruskal延拓的史瓦西时空中:在黑洞视界外面(r>2M)一般就选t为坐标时;而在视界里面(r<2M)由于坐标时沿线单调的约定,选择r作为坐标时更加方便。所以有人说:进入了黑洞时间与空间互换了。这个说法是片面的,因为坐标时只不过是人为选定的,而固有时仍然不变,粒子进入黑洞经历的时间仍然是世界线的长度!最后再强调一点:度规体现时空本质,是绝对的;而坐标系是人为选定的,相对的。参考:梁灿彬《微分几何入门与广义相对论》上册 6.1.4固有时与坐标时。

怎样推导能量公式
E=mc^2【详见下面证明的 9.】相对论公式及证明   符号 单位 符号 单位
  坐标(x,y,z):m 力F(f): N
  时间t(T): s 质量m(M): kg
  位移r: m 动量p: kg*m/s
  速度v(u): m/s 能量E: J
  加速度a: m/s^2 冲量: N*s
  长度l(L): m 动能Ek: J
  路程s(S): m 势能Ep: J
  角速度ω: rad/s 力矩: N*m
  角加速度: rad/s^2α 功率P: W
牛顿力学(预备知识)
  (一):质点运动学基本公式:(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt
  (2)a=dv/dt,v=v0+∫adt
  (注:两式中左式为微分形式,右式为积分形式)
  当v不变时,(1)表示匀速直线运动。
  当a不变时,(2)表示匀变速直线运动。
  只要知道质点的运动方程r=r(t),它的一切运动规律就可知了。
  (二):质点动力学:
  (1)牛一:一切物体在没有受到力的作用时,总保持静止状态或匀速直线运动状态。
  (2)牛二:物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
  F=ma=mdv/dt=dp/dt
  (3)牛三:作用在同一物体上的两个力,如果等大反向作用在同一直线上,则二力平衡。
  (4)万有引力:两质点间作用力与质量乘积成正比,与距离平方成反比。
  F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)
  动量定理:I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)
  动量守恒:合外力为零时,系统动量保持不变。
  动能定理:W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)
  机械能守恒:只有重力做功时,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
  (注:牛顿力学的核心是牛二:F=ma,它是运动学与动力学的桥梁,我们的目的是知道物体的运动规律,即求解运动方程r=r(t),若知受力情况,根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样,若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a,再由牛二可知物体的受力情况。)
狭义相对论力学
  
  (注:“γ”为相对论因子,γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。)
  1.基本原理:(1)相对性原理:所有惯性系都是等价的。
  (2)光速不变原理:真空中的光速是与惯性系无关的常数。
  (此处先给出公式再给出证明)
  2.洛仑兹坐标变换:
  X=γ(x-ut)
  Y=y
  Z=z
  T=γ(t-ux/c^2)
  3.速度变换:
  V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
  V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))
  V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
  4.尺缩效应:△L=△l/γ或dL=dl/γ
  5.钟慢效应:△t=γ△τ或dt=dτ/γ
  6.光的多普勒效应:ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)
  (光源与探测器在一条直线上运动。)
  7.动量表达式:P=Mv=γmv,即M=γm
  8.相对论力学基本方程:F=dP/dt
  9.质能方程:E=Mc^2
  10.能量动量关系:E^2=(E0)^2+P^2c^2
  (注:在此用两种方法证明,一种在三维空间内进行,一种在四维时空中证明,实际上他们是等价的。)
三维证明
  
  1.由实验总结出的公理,无法证明。
  2.洛仑兹变换:
  设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止,(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处,x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。
  可令
  x=k(X+uT) (1).
  又因在惯性系内的各点位置是等价的,因此k是与u有关的常数(广义相对论中,由于时空弯曲,各点不再等价,因此k不再是常数。)同理,B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知,两个惯性系等价,除速度反向外,两式应取相同的形式,即k=K.
  故有
  X=k(x-ut) (2).
  对于y,z,Y,Z皆与速度无关,可得
  Y=y (3).
  Z=z (4).
  将(2)代入(1)可得:x=k^2(x-ut)+kuT,即
  T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5).
  (1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时,由重合点发出一光信号,则对两系分别有x=ct,X=cT.
  代入(1)(2)式得:ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得:
  k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换:
  X=γ(x-ut)
  Y=y
  Z=z
  T=γ(t-ux/c^2)
  3.速度变换:
  V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
  =(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
  =(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
  同理可得V(y),V(z)的表达式。
  4.尺缩效应:
  B系中有一与x轴平行长l的细杆,则由X=γ(x-ut)得:△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标),则△X=γ△x,即:△l=γ△L,△L=△l/γ
  5.钟慢效应:
  由坐标变换的逆变换可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量),故△t=γ△T.
  (注:与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时,是不随坐标变换而变的客观量。)
  6.光的多普勒效应:(注:声音的多普勒效应是:ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)
  B系原点处一光源发出光信号,A系原点有一探测器,两系中分别有两个钟,当两系原点重合时,校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N,B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知,A△系中的钟测得的时间为
  △t(a)=γ△t(b) (1).
  探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则
  △t(N)=(1+β)△t(a) (2).
  相对运动不影响光信号的波数,故光源发出的波数与探测器接收的波数相同,即
  ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3).
  由以上三式可得:
  ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).
  7.动量表达式:(注:dt=γdτ,此时,γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系,β=v/c)
  牛顿第二定律在伽利略变换下,保持形势不变,即无论在那个惯性系内,牛顿第二定律都成立,但在洛伦兹变换下,原本简洁的形式变得乱七八糟,因此有必要对牛顿定律进行修正,要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
  牛顿力学中,v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变,(旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z))只要将分母替换为一个不变量(当然非固有时dτ莫属)就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为V,可修正动量,即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量:相对论动量。(注:我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算)
  8.相对论力学基本方程::
  由相对论动量表达式可知: F=dp/dt,这是力的定义式,虽与牛顿第二定律的形式完全一样,但内涵不一样。(相对论中质量是变量)
  9.质能方程:
  Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
  =Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
  =Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
  =Mc^2-mc^2
  即E=Mc^2=Ek+mc^2
  10.能量动量关系:
  E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得:E^2=(E0)^2+p^2c^2
四维证明
  
  1.公理,无法证明。
  2.坐标变换:由光速不变原理:dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔,
  dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1).
  则对光信号dS恒等于0,而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2>0称类空间隔,dS^2<0称类时间隔,dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变,因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量,dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下,可得出一个重要的结论:dS是坐标变换下的不变量。
  由数学的旋转变换公式有:(保持y,z轴不动,旋转x和ict轴)
  X=xcosφ+(ict)sinφ
  icT=-xsinφ+(ict)cosφ
  Y=y
  Z=z
  当X=0时,x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ
  得:tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得:
  X=γ(x-ut)
  Y=y
  Z=z
  T=γ(t-ux/c^2)
  3.4.5.6.略。
  7.动量表达式及四维矢量:(注:γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)
  令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ,V=dr/dτ称四维速度。
  则V=(γv,icγ)γv为三维分量,v为三维速度,icγ为第四维分量。(以下同理)
  四维动量:P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
  四维力:f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力)
  四维加速度:ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)
  则f=mdV/dτ=mω
  8.略。
  9.质能方程:
  fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0
  故四维力与四维速度永远“垂直”,(类似于洛伦兹磁场力)
  由fV=0得:γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量,且Fv=dEk/dt(功率表达式))
  故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2
  故E=Mc^2=Ek+mc^2
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