狭义相对论和广义相对论的公式单位符号


单位 符号 单位 符号 坐标: m (x,y,z) 力: N F(f) 时间: s t(T) 质量:kg m(M) 位移: m r 动量:kg*m/s p(P) 速度: m/s v(u) 能量: J E 加速度: m/s^2 a 冲量:N*s I 长度: m l(L) 动能:J Ek 路程: m s(S) 势能:J Ep 角速度: rad/s ω 力矩:N*m M 角加速度:rad/s^2α 功率:W P 一: 牛顿力学(预备知识) (一):质点运动学基本公式:(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt (2)a=dv/dt,v=v0+∫adt (注:两式中左式为微分形式,右式为积分形式) 当v不变时,(1)表示匀速直线运动。 当a不变时,(2)表示匀变速直线运动。 只要知道质点的运动方程r=r(t),它的一切运动规律就可知了。 (二):质点动力学: (1)牛一:不受力的物体做匀速直线运动。 (2)牛二:物体加速度与合外力成正比与质量成反比。 F=ma=mdv/dt=dp/dt (3)牛三:作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。 (4)万有引力:两质点间作用力与质量乘积成正比,与距离平方成反比。 F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2) 动量定理:I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化) 动量守恒:合外力为零时,系统动量保持不变。 动能定理:W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化) 机械能守恒:只有重力做功时,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 (注:牛顿力学的核心是牛二:F=ma,它是运动学与动力学的桥梁,我们的目的是知道物体的运动规律,即求解运动方程r=r(t),若知受力情况,根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样,若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a,再由牛二可知物体的受力情况。) 二: 狭义相对论力学:(注:γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。) (一)基本原理:(1)相对性原理:所有惯性系都是等价的。 (2)光速不变原理:真空中的光速是与惯性系无关的常数。 (此处先给出公式再给出证明) (二)洛仑兹坐标变换: X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) (三)速度变换: V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2)) (四)尺缩效应:△L=△l/γ或dL=dl/γ (五)钟慢效应:△t=γ△τ或dt=dτ/γ (六)光的多普勒效应:ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b) (光源与探测器在一条直线上运动。) (七)动量表达式:P=Mv=γmv,即M=γm. (八)相对论力学基本方程:F=dP/dt (九)质能方程:E=Mc^2 (十)能量动量关系:E^2=(E0)^2+P^2c^2 (注:在此用两种方法证明,一种在三维空间内进行,一种在四维时空中证明,实际上他们是等价的。) 三: 三维证明: (一)由实验总结出的公理,无法证明。 (二)洛仑兹变换: 设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止,(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处,x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的,因此k是与u有关的常数(广义相对论中,由于时空弯曲,各点不再等价,因此k不再是常数。)同理,B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知,两个惯性系等价,除速度反向外,两式应取相同的形式,即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关,可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得:x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时,由重合点发出一光信号,则对两系分别有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得:ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得:k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换: X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) (三)速度变换: V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2)) =(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2) =(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 同理可得V(y),V(z)的表达式。 (四)尺缩效应: B系中有一与x轴平行长l的细杆,则由X=γ(x-ut)得:△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标),则△X=γ△x,即:△l=γ△L,△L=△l/γ (五)钟慢效应: 由坐标变换的逆变换可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量),故△t=γ△T. (注:与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时,是不随坐标变换而变的客观量。) (六)光的多普勒效应:(注:声音的多普勒效应是:ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).) B系原点处一光源发出光信号,A系原点有一探测器,两系中分别有两个钟,当两系原点重合时,校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N,B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知,A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数,故光源发出的波数与探测器接收的波数相同,即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得:ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b). (七)动量表达式:(注:dt=γdτ,此时,γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系,β=v/c) 牛二在伽利略变换下,保持形势不变,即无论在那个惯性系内,牛二都成立,但在洛伦兹变换下,原本简洁的形式变得乱七八糟,因此有必要对牛顿定律进行修正,要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。 牛顿力学中,v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变,(旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z))只要将分母替换为一个不变量(当然非固有时dτ莫属)就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为V,可修正动量,即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量:相对论动量。(注:我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算) (八)相对论力学基本方程: 由相对论动量表达式可知:F=dp/dt,这是力的定义式,虽与牛二的形式完全一样,但内涵不一样。(相对论中质量是变量) (九)质能方程: Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv =Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mc^2-mc^2 即E=Mc^2=Ek+mc^2 (十)能量动量关系: E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得:E^2=(E0)^2+p^2c^2 四: 四维证明: (一)公理,无法证明。 (二)坐标变换:由光速不变原理:dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔,dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).则对光信号dS恒等于0,而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2〉0称类空间隔,dS^2<0称类时间隔,dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变,因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量,dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下,可得出一个重要的结论:dS是坐标变换下的不变量。 由数学的旋转变换公式有:(保持y,z轴不动,旋转x和ict轴) X=xcosφ+(ict)sinφ icT=-xsinφ+(ict)cosφ Y=y Z=z 当X=0时,x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ 得:tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得: X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) (三)(四)(五)(六)(八)(十)略。 (七)动量表达式及四维矢量:(注:γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ) 令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ,V=dr/dτ称四维速度。 则V=(γv,icγ)γv为三维分量,v为三维速度,icγ为第四维分量。(以下同理) 四维动量:P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM) 四维力:f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力) 四维加速度:ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c) 则f=mdV/dτ=mω (九)质能方程: fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0 故四维力与四维速度永远“垂直”,(类似于洛伦兹磁场力) 由fV=0得:γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量,且Fv=dEk/dt(功率表达式)) 故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2 故E=Mc^2=Ek+mc^2 在开始阅读本短文并了解广义相对论的关键特点之前,我们必须假定一件事情:狭义相对论是正确的。这也就是说,广义相对论是基于狭义相对论的。如果后者被证明是错误的,整个理论的大厦都将垮塌。 为了理解广义相对论,我们必须明确质量在经典力学中是如何定义的。质量的两种不同表述: 首先,让我们思考一下质量在日常生活中代表什么。“它是重量”?事实上,我们认为质量是某种可称量的东西,正如我们是这样度量它的:我们把需要测出其质量的物体放在一架天平上。我们这样做是利用了质量的什么性质呢?是地球和被测物体相互吸引的事实。这种质量被称作“引力质量”。我们称它为“引力的”是因为它决定了宇宙中所有星星和恒星的运行:地球和太阳间的引力质量驱使地球围绕后者作近乎圆形的环绕运动。 现在,试着在一个平面上推你的汽车。你不能否认你的汽车强烈地反抗着你要给它的加速度。这是因为你的汽车有一个非常大的质量。移动轻的物体要比移动重的物体轻松。质量也可以用另一种方式定义:“它反抗加速度”。这种质量被称作“惯性质量”。 因此我们得出这个结论:我们可以用两种方法度量质量。要么我们称它的重量(非常简单),要么我们测量它对加速度的抵抗(使用牛顿定律)。 人们做了许多实验以测量同一物体的惯性质量和引力质量。所有的实验结果都得出同一结论:惯性质量等于引力质量。 牛顿自己意识到这种质量的等同性是由某种他的理论不能够解释的原因引起的。但他认为这一结果是一种简单的巧合。与此相反,爱因斯坦发现这种等同性中存在着一条取代牛顿理论的通道。 日常经验验证了这一等同性:两个物体(一轻一重)会以相同的速度“下落”。 然而重的物体受到的地球引力比轻的大。那么为什么它不会“落”得更快呢? 因为它对加速度的抵抗更强。结论是,引力场中物体的加速度与其质量无关。 伽利略是第一个注意到此现象的人。重要的是你应该明白,引力场中所有的物体“以同一速度下落”是(经典力学中)惯性质量和引力质量等同的结果。 现在我们关注一下“下落”这个表述。物体“下落”是由于地球的引力质量产生了地球的引力场。两个物体在所有相同的引力场中的速度相同。不论是月亮的还是太阳的,它们以相同的比率被加速。这就是说它们的速度在每秒钟内的增量相同。(加速度是速度每秒的增加值)

参考资料:http://knmtt.blogchina.com/3827646.html

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