向量空间线性变换证明ker设στ是向量空间V的两个线性

向量空间线性变换证明ker

两个字母比较难打,用A,B来代替吧。对一切kerA中的元素a,成立ABa=BAa=0,所以Ba属于kerA。即kerA在B下不变。。对一切a输入ImA,存在b使Ab=a,所以成立Ba=BAb=ABa属于ImA,从而ImA在B下不变


3. 是数域F上向量空间V的一个线性变换,并且满足条件 2 = .证明: (i) Ker( ) =
Proof:(i) 记等号右边集合为E,对任意的x属于Kerσ,有σx=0,从而x=x-σx,即Kerσ包含于E;对任意y-σy属于E,有σ(y-σy)=σy-σ^2y=0,所以y-σy属于Kerσ,即E包含于Kerσ。综上,有Kerσ={ξ-σξ|ξ∈V}
(ii)对任意的x属于V,有x=(x-σx)+σx,其中x-σx属于Kerσ,σx属于Imσ,所以V=Kerσ+Imσ;设y属于Kerσ交Imσ,则存在z属于V,使得y=σz且σy=σ^2z=σz=0,所以y=0,即Kerσ交Imσ={0}。综上有V=Kerσ直和Imσ
(iii)①必要性:对任意的x属于V,有(στ-τσ)x=σ(τx)-τσx,其中σ(τx)属于Imσ,而Imσ在τ下的不变所以τσx也属于Imσ,从而(στ-τσ)x属于Imσ;又σ((στ-τσ)x)=(σ^2τ-στσ)x=στ(x-σx)=0,所以(στ-τσ)x属于Kerσ。从而(στ-τσ)x属于Imσ交Kerσ=0,由x的任意性知στ-τσ=0即στ=τσ
②充分性:对任意的x属于Kerσ,σ(τx)=τσx=0即τx属于Kerσ,所以Kerσ在τ下不变;对任意的σy属于Imσ,有τ(σy)=σ(τy)属于Imσ,所以Imσ在τ下不变
证毕!
您好!请问您知不知道σ是向量空间中的一个线性变换,“σ不等于id”中
id指恒等变换(identity)。如果M是一个集合(当然也包括线性空间),映射A从M映到M,满足Ax = x,对任何x属于M成立,那么A叫M上的恒等变换,记作id_M。所有从M到M的映射(或者满足某些条件的映射,比如同胚(当M是拓扑空间时),又比如线性映射(当M是线性空间时),等等)组成一个群,id_M是这个群里的单位元。