设αβ为三阶非零列向量(αβ)=3A=αβ^τ则


A的特征值为 α^Tβ= 3, 0,0,...,0因为 Aα=(αβ^T)α=α(β^Tα)=(β^Tα)α所以α是A的属于特征值β^Tα = 3 的特征向量因为r(A)=1所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系含 n-1 个向量即A的属于特征值0的线性无关的特征向量有n-1个所以0至少是A的n-1重特征值而n阶方阵有n个特征值所以A的特征值为 3,0,0,...,0(n-1重)


设α,β为四维非零的正交向量,且A=αβT,则A的线性无关的特征向量个数为(  )A.1个B.2个C.3个D

令AX=λX,则A2X=λ2X,因为α,β正交,所以A2=αβT?αβT=0,于是λ2X=0,故λ1=λ2=λ3=λ4=0,因为α,β为非零向量,所以A为非零矩阵,故r(A)≥1;又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1,所以r(A)=1.因为4-r(0E-A)=4-r(A)=3,所以A的线性无关的特征向量是3个,故选:C.

a,b为三维非零列向量,(a,b)=3,A=a(b)^T 求迹trA),为何tr(A)=(a,b)
A的特征值为 α^Tβ= 3,0,0,...,0
因为 Aα=(αβ^T)α=α(β^Tα)=(β^Tα)α
所以α是A的属于特征值β^Tα = 3 的特征向量
因为r(A)=1
所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系含 n-1 个向量
即A的属于特征值0的线性无关的特征向量有n-1个
所以0至少是A的n-1重特征值
而n阶方阵有n个特征值
所以A的特征值为 3,0,0,...,0(n-1重)
标签: 数学