正交矩阵设向量α=(1234)τβ=(1k

正交矩阵

两向量正交则内积为0所以 (α,β) = 1+2k-3+8 = 0故 k = -3.

向量α与β正交,说明α与β的点乘等于零。α与β的点乘=1+2K-3+8=0得到k=-3 求采纳,不懂请追问。


设α=(1,3,4)',β=(5,0,-1)' 属于R∧3,试求一个3 阶正交矩阵A 使得Aα=β
显然
A^n
=α^Tβα^Tβα^Tβ……α^Tβα^Tβ
=α^T*(βα^T)*(βα^T)……(βα^T)*β
注意到βα^T=1+(1/2)*2+(1/3)*3=3

A^n
=α^T*(βα^T)*(βα^T)……(βα^T)*β
=3^(n-1) α^Tβ

α^Tβ =
(1,1/2,1/3
2,1,2/3
3,3/2,1)
所以
A^n=
(1,1/2,1/3 * 3^(n-1)
2,1,2/3
3,3/2,1)追问第一步什么意思?
设4维列向量α1,α2,α3线性无关,且与4维非零列向量β1,β2均正交,证明β1,β2线性无关。
题目是错的,β1,β2应该线性相关:

α1,α2,α3线性无关
且与非零列向量β1,β2均正交(必然也线性无关)

向量组α1,α2,α3,β1线性无关
向量组α1,α2,α3,β2线性无关
且有向量组α1,α2,α3,β1,β2线性相关(5个4维列向量,必然线性相关,且秩<=4)
则β1,β2线性相关,否则向量组α1,α2,α3,β1,β2的秩等于5,矛盾!
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